\chapter{Ju et al. (2015)}
该论文根据要素禀赋构造了一个行业与经济增长的动态模型，包含了静态和动态两个部分。

\section{静态模型}
\textbf{厂商问题\hspace{2em}}厂商有里昂锡夫生产函数，
\[ F_n(k,l)=\min\{\frac{k}{a_n},l\} \]
其中，$ a_n $是资本密度，，$ l $是劳动，$ k $是物质资本。假设第0种产品只用劳动，不用资本。如果令每种商品价格为$ p_n $，则其利润最大化问题可归纳如下，
\[ \max_{l_n,k}\hspace{1em} p_nF_n(k,l)-wl-r\cdot k \]
其中$ p_n $是产品的价格，$ w $是工资，$ r $是利率。注意到里昂锡夫生产函数意味着$ l=\frac{k}{a_n} $(不相等的部分会被浪费掉)，该最优规划的一阶条件为，
\begin{align}
	p_0&=w\\
	p_n &= w +a_nr,\hspace{2em}n\in\{1,2,\cdots\}
\end{align}


\textbf{消费者问题\hspace{2em}}消费者最大化问题，
\begin{align*}
 \max_{c_n}\hspace{2em}&\frac{C^{1-\sigma}-1}{1-\sigma}\\
 s.t.\hspace{2em}&\sum_{n=0}^\infty p_nc_n=wL+rE\\
 & C = \sum_{n=0}^\infty \lambda_nc_n
\end{align*}

其中，$ L $是总劳动，$ E $是总物质资本.注意到，我们令$ \lambda_n=\lambda^n, a_n=a^n $。该最优规划的一阶条件表明：
\[ \lambda^n\left(\sum_{n=1}^{\infty}\lambda^nc_n + c_0\right)^{-\sigma}=\mu p_n \]
其中$ \mu $是拉格朗日乘子。通过考虑上述一阶条件关于$ c_n,c_{n+1} $两个等式，可以得到，
\begin{equation}\label{ju_eq_rw}
\lambda = \frac{p_{n+1}}{p_n}=\frac{w+a_{n+1}r}{w+a_{n}r}=\frac{1+a_{n+1}(r/w)}{1+a_{n}(r/w)}	
\end{equation}
上述等式意味着市场每次只有两个相邻的产业可以出现。

\textbf{市场出清}\hspace{2em}因为厂商用到的劳动力要等于总劳动力，用到的物质资本要等于总资本。因此，有市场出清条件，
\begin{align}
	c_n+c_{n+1}&=L\\\label{ju_eq_cn}
	c_na^n+c_{n+1}a^{n+1}&=E
\end{align}
第一个等号成立是因为里昂锡夫生产函数意味着生产时$ c_n=l=k/a_n $，而市场始终只有2个产品，因此劳动力总和为$ L=l_n+l_{n+1}=c_n+c_{n+1} $，物质资本总和为$ E=k_n+k_{n+1}=c_na^n+c_{n+1}a^{n+1} $。

以$ c_n,c_{n+1},r/w $为内生变量，解\eqref{ju_eq_rw}-\eqref{ju_eq_cn}式，可以得到(见文件\verb|Ju2015.mw|)，
\begin{align*}
	c_n=&\frac{La^{n+1}-E}{a^{n+1}-a^n}\\
	c_{n+1}=&\frac{E-La^n}{a^{n+1}-a^n}\\
	\frac{r}{w}=&\frac{\lambda-1}{a_n(a-\lambda)}
\end{align*}

此时可以模拟随着$ E $的变化，$ c_n $从0到峰值再到0，然后$ c_{n+1} $兴起等产业更替的现象。